问怎么求点到平面的距离

【怎么求点到平面的距离】在三维几何中，点到平面的距离是一个常见的计算问题，广泛应用于数学、物理和工程等领域。掌握这一知识点有助于理解空间几何关系，并为后续的立体几何问题打下基础。

一、点到平面距离的定义

点到平面的距离是指从该点出发，垂直于平面的最短线段长度。这个距离可以通过解析几何的方法进行计算，通常需要知道点的坐标和平面的方程。

二、点到平面距离的公式

设点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，平面的一般方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

则点 $ P $ 到该平面的距离 $ d $ 的公式为：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

三、计算步骤总结

以下是计算点到平面距离的详细步骤：

四、示例计算

已知：

点 $ P(1, 2, 3) $，平面方程为 $ 2x - y + 3z - 6 = 0 $

计算过程：

1. $ A = 2 $, $ B = -1 $, $ C = 3 $, $ D = -6 $

2. $ x_0 = 1 $, $ y_0 = 2 $, $ z_0 = 3 $

3. 代入公式：

$$

d = \frac{2(1) + (-1)(2) + 3(3) - 6}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{2 - 2 + 9 - 6}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{3}{\sqrt{14}}

$$

最终结果：

点到平面的距离为 $ \frac{3}{\sqrt{14}} $ 或约 $ 0.801 $（保留三位小数）

五、注意事项

- 平面方程必须写成标准形式 $ Ax + By + Cz + D = 0 $，否则无法使用上述公式。

- 若平面方程未标准化（如系数不全为整数），应先将其化简。

- 公式中的分母是法向量的模长，表示平面的“倾斜程度”。

通过以上方法，可以系统地理解和计算点到平面的距离。掌握这一技能不仅有助于解题，也能提升对三维空间的理解能力。