【三角形中心重心垂心公式】在几何学中，三角形的几个重要中心点——如重心、垂心等，是研究三角形性质的重要工具。这些点不仅在数学理论中有广泛应用，在工程、物理和计算机图形学等领域也具有重要意义。本文将对三角形的中心、重心与垂心进行简要总结，并列出它们的计算公式。
一、三角形中心
“三角形中心”通常指三角形的几种特殊点，如重心、垂心、外心、内心等。这里我们重点介绍重心和垂心。
二、重心（Centroid）
定义：
重心是三角形三条中线的交点，也是三角形的几何中心。它将每条中线分为2:1的比例，即从顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的两倍。
公式：
若三角形三个顶点坐标分别为 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $、$ C(x_3, y_3) $，则其重心 $ G $ 的坐标为：
$$
G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)
$$
三、垂心（Orthocenter）
定义：
垂心是三角形三条高线的交点。高线是从一个顶点垂直于对边的直线。
公式：
垂心的坐标计算较为复杂，通常需要通过解析几何方法求解。若已知三角形的三个顶点坐标 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $、$ C(x_3, y_3) $，可以通过以下步骤求得垂心 $ H $：
1. 求出两条边的斜率；
2. 根据斜率求出对应的高线方程；
3. 解联立方程得到垂心坐标。
由于公式较为复杂，一般情况下使用向量或矩阵方法更为方便。
四、总结对比表
| 名称 | 定义说明 | 计算公式（坐标形式） |
| 重心 | 三条中线的交点 | $ G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) $ |
| 垂心 | 三条高线的交点 | 需通过高线方程联立求解，无统一简洁公式 |
五、小结
在三角形的研究中，重心和垂心是两个非常重要的几何点。它们分别代表了三角形的质量分布中心和高线交汇点。虽然重心有明确的坐标公式，但垂心的计算相对复杂，需结合代数方法求解。理解这些中心点的性质和公式，有助于深入掌握平面几何的基础知识，并为后续的几何分析打下坚实基础。