新传媒网arcsin x 的原函数
在数学中，求一个函数的原函数是指找到它的不定积分。对于 arcsin x（反三角函数），其原函数可以通过积分方法来推导。本文将详细介绍 arcsin x 的原函数及其推导过程。
首先回顾一下 arcsin x 的定义：arcsin x 是正弦函数 sin x 的反函数，满足条件 sin(arcsin x) = x，且 arcsin x 的值域为 [-π/2, π/2]。要找到 arcsin x 的原函数，我们需要计算其不定积分 ∫arcsin x dx。
为了求解这个积分，可以采用分部积分法。分部积分公式为：
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
在这里，我们可以令 u = arcsin x 和 dv = dx。那么，du = 1/√(1-x²) dx，而 v = x。代入分部积分公式后得到：
\[
\int arcsin x \, dx = x \cdot arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx
\]
接下来，我们处理第二个积分 ∫x/√(1-x²) dx。注意到分母的形式与三角函数的微分形式相似，因此可以通过变量替换简化计算。设 t = 1 - x²，则 dt = -2x dx，即 x dx = (-1/2) dt。同时，当 x → ±1 时，t → 0；当 x → 0 时，t → 1。于是，原积分变为：
\[
-\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t} + C = -\sqrt{t} + C
\]
将 t 替换回 1 - x² 后，得到：
\[
-\sqrt{1-x^2} + C
\]
综上所述，arcsin x 的原函数为：
\[
\int arcsin x \, dx = x \cdot arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C
\]
这个结果表明，arcsin x 的原函数不仅包含 arcsin x 自身，还包含一个平方根项。这一结论具有重要的理论意义和实际应用价值，例如在物理学、工程学等领域，这类积分经常用于解决曲线长度、面积等问题。
总结而言，通过分部积分法和变量替换技巧，我们成功推导出 arcsin x 的原函数。这一过程不仅展示了积分运算的强大工具性，也体现了数学分析中的逻辑严密性和美感。
