【多项式长除法】在代数运算中，多项式长除法是一种类似于整数长除法的方法，用于将一个多项式除以另一个次数较低的多项式。它常用于分解多项式、求解方程或简化表达式。通过这种方法，可以将一个复杂的多项式表示为商与余式的组合。
一、多项式长除法的基本步骤
1. 排列多项式：将被除式和除式按降幂排列，若某项缺失，则用0补上。
2. 确定首项：用被除式的首项除以除式的首项，得到商的第一个项。
3. 乘法与减法：将得到的商项乘以除式，再从被除式中减去该结果。
4. 重复操作：将所得的新的多项式作为新的被除式，继续进行上述步骤，直到余式的次数低于除式的次数为止。
5. 写出结果：最终结果包括商和余式。
二、多项式长除法示例
假设我们有以下多项式除法：
$$
\frac{x^3 + 2x^2 - x + 1}{x - 1}
$$
步骤说明：
| 步骤 | 操作 | 结果 |
| 1 | 排列多项式 | $x^3 + 2x^2 - x + 1$ 除以 $x - 1$ |
| 2 | 首项相除 | $\frac{x^3}{x} = x^2$ |
| 3 | 乘法与减法 | $x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2$ 减去后得：$3x^2 - x + 1$ |
| 4 | 再次首项相除 | $\frac{3x^2}{x} = 3x$ |
| 5 | 乘法与减法 | $3x \cdot (x - 1) = 3x^2 - 3x$ 减去后得：$2x + 1$ |
| 6 | 再次首项相除 | $\frac{2x}{x} = 2$ |
| 7 | 乘法与减法 | $2 \cdot (x - 1) = 2x - 2$ 减去后得：$3$（余数） |
三、结果总结
| 项目 | 内容 |
| 被除式 | $x^3 + 2x^2 - x + 1$ |
| 除式 | $x - 1$ |
| 商 | $x^2 + 3x + 2$ |
| 余数 | $3$ |
| 最终表达式 | $x^3 + 2x^2 - x + 1 = (x - 1)(x^2 + 3x + 2) + 3$ |
四、注意事项
- 多项式长除法要求除式的次数必须小于或等于被除式的次数。
- 如果余数为0，则说明除式是被除式的因式。
- 该方法适用于任何次数的多项式，但计算过程可能较为繁琐。
通过掌握多项式长除法，我们可以更深入地理解多项式的结构和性质，也为后续学习因式分解、多项式函数分析等提供了基础。